Sensibilité et budget d'erreur

Une analyse de sensibilité pose une question tranchante : si une entrée bouge, de combien la sortie bouge-t-elle, et quelle entrée importe le plus ? Pour $P(t)$ la réponse a une structure exceptionnellement nette, parce que l’équation maîtresse est multiplicative. Ce chapitre sépare les deux choses qu’une analyse de sensibilité confond — la réponse à une variation et la contribution à l’incertitude — et montre que pour $P(t)$ elles se comportent très différemment. Il s’appuie directement sur l’analyse d’incertitude et partage son outillage avec le carnet de reproductibilité.

Chaque facteur a une élasticité unitaire

Écrivons la sortie agrégée schématiquement comme un produit de ses facteurs, $P = \prod_i x_i$ avec $x_i \in \{\Phi, \sigma, \Delta p, v_{\text{ph}}, \eta_{\text{conv}}\}$. L’élasticité de $P$ par rapport à n’importe quel facteur — la variation fractionnaire de la sortie par variation fractionnaire de l’entrée — vaut alors exactement un :

$$\frac{\partial \ln P}{\partial \ln x_i} = 1 \qquad \text{for every } i. \tag{1}$$

Une variation d’un pour cent de n’importe quel facteur seul change la sortie d’un pour cent, ni plus ni moins. La réponse au premier ordre est donc uniforme : aucun facteur n’est intrinsèquement plus « à effet de levier » qu’un autre. C’est une propriété authentique de la forme multiplicative, et cela signifie que le classement habituel par dérivée locale n’est pas informatif ici — il classerait les cinq facteurs à égalité.

Ce qui diffère réellement, c’est l’incertitude

Si les facteurs ne sont pas également réactifs, ils ne sont certainement pas également connus. La question de sensibilité utile pour $P(t)$ est donc un budget d’erreur : quelle part de l’incertitude sur la sortie chaque facteur apporte-t-il ? En traitant les facteurs comme indépendants et distribués log-normalement — le choix naturel pour des grandeurs incertaines sur un ordre de grandeur — les log-variances s’additionnent :

$$\operatorname{Var}(\ln P) = \sum_i \operatorname{Var}(\ln x_i) = \sum_i \sigma_i^{2}, \tag{2}$$

de sorte que la contribution fractionnaire du facteur $i$ à la variance de la sortie est simplement

$$c_i = \frac{\sigma_i^{2}}{\sum_j \sigma_j^{2}}. \tag{3}$$

Le budget d’erreur est fixé entièrement par les incertitudes relatives $\sigma_i$, non par les valeurs des facteurs. C’est la grandeur qu’il vaut la peine de classer.

Budget d’erreur (illustratif)

Le tableau utilise des incertitudes log-échelle illustratives — signalées comme telles, choisies pour refléter que la section efficace du neutrino est le terme le moins contraint et la vitesse des phonons parmi les mieux contraints. Les valeurs réelles proviendraient de la mesure (mesure et falsifiabilité).

Facteur	$\sigma_i$ illustratif (unités ln)	Part de variance $c_i$
$\sigma(E)$ — section efficace de diffusion	0,6	40,0 %
$\Phi$ — densité de flux de rayonnement	0,5	27,8 %
$\Delta p$ — transfert de quantité de mouvement	0,4	17,8 %
$\eta_{\text{conv}}$ — rendement de conversion	0,3	10,0 %
$v_{\text{ph}}$ — vitesse des phonons	0,2	4,4 %

Ce que le budget vous apprend

Deux conclusions pratiques en découlent, et ce sont elles qui rendent l’analyse digne d’être menée. Premièrement, la priorité de mesure : parce que le terme de section efficace porte la plus grande part de la variance, un programme expérimental réduit l’incertitude de sortie le plus vite en contraignant d’abord $\sigma(E)$ ; diviser par deux son $\sigma_i$ retire plus de la variance totale que diviser par deux n’importe quel autre. Deuxièmement, où la précision est gaspillée : resserrer la vitesse des phonons, déjà le terme le mieux contraint, ne bouge presque pas le total. Combiné au résultat d’élasticité unitaire, le tableau est complet — chaque facteur importe également pour la valeur de $P(t)$, mais ils importent très inégalement pour son incertitude, et le budget d’erreur dit exactement où regarder. Comme pour tous les nombres de ce site, les $\sigma_i$ ici sont illustratifs ; la méthode — décomposer la log-variance, classer les parts, agir sur la plus grande — est le contenu transférable, et elle est reproductible depuis le carnet.