放射フラックス密度

放射フラックス密度 $\Phi(E,\theta,t)$ は、Schubart Master Formula の被積分関数における第一の因子であり、装置ではなく環境を記述する唯一のものである。それは、どれだけの周囲の場のエネルギーが、エネルギー別、入射方向別、時間別に分解されて到来するかを定量化する。枠組みの他のあらゆる因子はこの資源に作用する。それらのいずれもそれを創り出すことはできない。したがって $\Phi(E,\theta,t)$ を理解することは、方程式を読むための自然な出発点である。方程式はその拡張された物理的表現において次のとおりである。

$$P(t) = \iint \Phi(E,\theta,t)\,\sigma(E)\,\Delta p\,v_{\text{ph}}\,\eta_{\text{conv}}\;dE\,d\theta .$$

深度 1 — 直観

屋外に立ち、単に「どれだけ明るいか」ではなく「どの色がそれぞれどれだけ、どの方向から到来しており、それが分刻みでどう変化しているか」を問うところを想像してほしい。そのより充実した問いに答えるのが $\Phi(E,\theta,t)$ である。それは単一の明るさの数ではない。それは分布である——スペクトルにわたって、方向の半球にわたって、そして時間にわたって広がる、入来するエネルギーの風景である。

有用な比喩は集水域に降る雨である。総降雨量の単一の数字は、貯水池が満たされるかどうかについてほとんど教えない。重要なのは、水が到来する速度、それが一定の霧雨として来るのか散発的な豪雨として来るのか、そしてどの斜面から流れ込むのかである。変換器が集水域であり、$\Phi(E,\theta,t)$ が、単一の平均としてではなく詳細に記述された雨である。この因子が重要なのは、それが下流のすべての上限を設定するからである。すなわち、どれほど巧妙な結合、輸送、整流も、入射する場にそもそも存在しなかった出力を抽出することはできない。$\Phi$ は供給であり、公式の残りはその供給のどれだけが利用可能な出力になるかを決める機構である。

深度 2 — 物理

物理的には、$\Phi(E,\theta,t)$ はスペクトル的・角度的・時間的なフラックス密度である。その三つの引数はそれぞれ意味を担う。エネルギー引数 $E$ は周囲の場をそのスペクトル成分へと分解する。ほとんどの自然な場は広帯域だからである。すなわちそれらのエネルギーは一つの値に集中するのではなく範囲にわたって広がっている。角度引数 $\theta$ は入射方向を分解する。これは環境が異方的であるとき——すべての方向から一様にではなくある方向から優先的に到来するとき——常に重要となる。時間引数 $t$ は周囲の場がゆらぐことを認める。すなわちそれらは増え、また衰え、遮蔽、天候、軌道幾何、あるいは源の周期によって変調される。

$\Phi$ の大きさは環境の間で甚だしく変わり、これが枠組みがそれを固定定数ではなく自由な入力として保持する理由である。強いが狭帯域の場はそのエネルギーを小さなスペクトル窓に集中させる。かすかだが広帯域の場はささやかな総量を広いエネルギー範囲にわたって広げる。いずれが有用な出力を生むかは、$\Phi$ が材料の応答とどのように重なるかに依存し、これは散乱断面積のもとで展開される点である。入射総エネルギーが同一の二つの環境でも、一方がそのエネルギーを変換器が結合する場所に置き他方がそうしないならば、結果はまったく異なりうる。

$\Phi$ は周囲によって課されるので、境界条件として扱われる。装置はそれが浸されている場を変えることはできない。それはただその場にどう応答するかを選べるのみである。この分離——環境は与えられたもの、装置は設計されたもの——が、同じ枠組みを、地上の周囲の場からニュートリノボルタイクスのような特殊な応用で考えられるフラックス環境まで、数学を変えることなく根本的に異なる設定にわたって適用できるようにする。$\Phi$ の多引数・分布的な性質は、まさに枠組みが積ではなく積分として書かれる理由である。多チャネルエネルギーフラックスを参照のこと。

深度 3 — 数学

形式的には、$\Phi(E,\theta,t)$ は四つの測度——面積、時間、立体角、エネルギー——に関して同時に密度である。その SI 形式は

$$[\Phi] = \mathrm{m^{-2}\,s^{-1}\,sr^{-1}\,J^{-1}} .$$

文字どおりに読むと、$\Phi(E,\theta,t)\,dE\,d\theta$ は、エネルギー区間 $[E, E+dE]$ と角度区間 $[\theta, \theta+d\theta]$ の内に到来する、単位面積あたり単位時間あたりの入射量子の数（またはエネルギー）である。それは微分量である。すなわちそれは測度に対して積分されて初めて物理的意味を獲得する。$\Phi$ だけをエネルギーと角度にわたって積分すると総入射フラックスが回復され、被積分関数の残りの因子で重み付けて積分すると出力が回復される。

マスター公式の内部では、$\Phi$ は線形に入る。あらゆるエネルギーと角度で入射する場を二倍にすると、被積分関数への寄与が各点で二倍になり、そして——他の因子が $\Phi$ に依存しないので——応答因子が線形領域にとどまる限り、積分された出力が二倍になる。この線形性が $\Phi$ を自然な「資源」項にするものである。すなわち出力は供給とともにスケールする。エネルギーと角度の引数は積分 $\iint \cdots \, dE\,d\theta$ によって消費され、それによって分布した入力が単一のスカラー速度へ縮約する。時間引数は積分されず、通し抜けられる。これが $P(t)$ が $\Phi(E,\theta,t)$ から直接時間依存性を受け継ぐ理由である。場が単色で単一方向である極限的な場合、$\Phi$ は $E$ と $\theta$ における一対のデルタ関数へ還元され、二重積分は単一のエネルギーと角度での評価へ縮約する——一般の表現が単純な場合を含むことの有用な確認である。被積分関数における $\Phi$ の正確な配置とその単位は変数定義に整理され、完全な組み立ては完全導出で導かれる。

収支の中で

$\Phi(E,\theta,t)$ は、散乱断面積が次に標本化する生の場を供給する。すなわち $\Phi$ と $\sigma(E)$ が重なるスペクトル領域だけが寄与するので、二つの因子は共に読まれなければならない。$\Phi$ の角度構造は、正味の指向的運動量移行が生じうるかどうかに直接送り込まれる。等方的な場は対称的に押し、正味の電流を生まないからである。この意味で $\Phi$ はパイプラインを開く。後続のあらゆる因子は、それが提供する資源を減じ、方向転換し、あるいは捕捉し損ねることしかできない。

参考文献

• L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Statistical Physics, Part 1, 3rd ed. (Pergamon Press, 1980). フラックス密度がその特別な場合である分布関数と位相空間密度の基礎的な扱い。
• S. Chandrasekhar, Radiative Transfer (Dover, 1960). 比強度と方向的フラックスの古典的な参考書であり、角度分解された $\Phi(E,\theta,t)$ の概念的祖先。
• G. B. Rybicki and A. P. Lightman, Radiative Processes in Astrophysics (Wiley, 1979). スペクトル的・角度的フラックス密度とその SI 次元の入念な展開。